Hyperbolic components of polynomials with a fixed critical point of maximal order

For the study of the 2-dimensional space of cubic polynomials, J. Milnor considers the complex 1-dimensional slice Sn of the cubic polynomials which have a super-attracting orbit of period n. He gives in [15] a detailed and partially conjectural picture of Sn. In the present article, we prove these conjectures for S1 and generalize these results in higher degrees. In particular, this gives a description of the closures of the hyperbolic components and of the Mandelbrot copies sitting in the connectedness locus. We prove that the boundary of each hyperbolic component is a Jordan curve, the points of which are characterized according to the dynamical behaviour of the associated polynomial. The global picture of the connectedness locus is a closed disk together with “limbs” sprouting off it at the cusps of Mandelbrot copies and whose diameter tends to 0 (which corresponds to a qualitative Yoccoz' inequality).

RésuméPour étudier l'espace 2-dimensionnel des polynômes cubiques, J. Milnor considère la tranche Sn de dimension un complexe formée des polynômes cubiques qui ont une orbite super-attractive de période n. Il donne dans [15] une image détaillée et partiellement conjecturelle de Sn. Dans le présent article, nous démontrons ces conjectures pour S1 et généralisons ces résultats aux degrés supérieurs. En particulier, nous obtenons une description de la fermeture des composantes hyperboliques et des copies de Mandelbrot se trouvant dans le lieu de connexité. Nous prouvons que la frontière de chaque composante hyperbolique est une courbe de Jordan, dont les points sont caractérisés en fonction du comportement dynamique du polynôme associé. L'image globale du lieu de connexité est un disque fermé avec des “membres” qui en sortent aux cusps de copies de Mandelbrot et dont le diamètre tend vers 0 (ce qui correspond à une inégalité de Yoccoz quantitative).