Eigenvaluations

We study the dynamics in C2 of superattracting fixed point germs and of polynomial maps near infinity. In both cases we show that the asymptotic attraction rate is a quadratic integer, and construct a plurisubharmonic function with the adequate invariance property. This is done by finding an infinitely near point at which the map becomes rigid: the critical set is contained in a totally invariant set with normal crossings. We locate this infinitely near point through the induced action of the dynamics on a space of valuations. This space carries an R-tree structure and conveniently encodes local data: an infinitely near point corresponds to an open subset of the tree. The action respects the tree structure and admits a fixed point—or eigenvaluation—which is attracting in a certain sense. A suitable basin of attraction corresponds to the desired infinitely near point.

RésuméNous étudions la dynamique dans C2 des germes d'applications holomorphes superattractives et des applications polynomiales près de l'infini. Dans les deux cas, nous montrons que le taux asymptotique d'attraction (vers l'origine ou vers l'infini respectivement) est un entier quadratique, et nous construisons une fonction pluri-sous-harmonique vérifiant l'équation d'invariance correspondante. Pour cela, nous exhibons un point infiniment proche en lequel l'application devient rigide au sens où son ensemble critique est contenu dans une courbe à croisements normaux et totalement invariante. Nous localisons ce point infiniment proche en analysant l'action induite par l'application sur un espace adéquat de valuations. Cet espace est un arbre réel qui code de manière efficace des données locales liées aux singularités de courbes : un point infiniment proche correspond ainsi à un ouvert dans cet arbre. L'action respecte la structure d'arbre et admet un point fixe (appelé « valuation propre ») qui est attirant en un certain sens. Le bassin d'attraction de ce point correspond au point infiniment proche désiré.