Diabatic limit, eta invariants and Cauchy–Riemann manifolds of dimension 3

We relate a recently introduced non-local invariant of compact strictly pseudoconvex Cauchy–Riemann (CR) manifolds of dimension 3 to various η-invariants: on the one hand a renormalized η-invariant appearing when considering a sequence of metrics converging to the CR structure by expanding the size of the Reeb field; on the other hand the η-invariant of the middle degree operator of the contact complex. We then provide explicit computations for transverse circle invariant CR structures on Seifert manifolds. This yields obstructions to filling a CR manifold by complex hyperbolic, Kähler–Einstein, or Einstein manifolds.

RésuméNous relions un nouvel invariant non-local des variétés Cauchy–Riemann (CR) strictement pseudoconvexes et compactes de dimension 3 à d'autres invariants de type η en géométrie CR : d'une part celui obtenu en considérant une suite de métriques riemanniennes adaptées à la structure CR et en faisant tendre vers l'infini la longueur du champ de Reeb, d'autre part l'invariant η de l'opérateur apparaissant en degré moitié dans le complexe de contact. Nous les calculons ensuite sur les variétés de Seifert admettant une structure CR invariante par l'action transverse d'un cercle. Les résultats fournissent des obstructions au remplissage d'une variété CR par une variété hyperbolique complexe, Kähler–Einstein ou d'Einstein.