Statistical properties of topological Collet–Eckmann maps

We study geometric and statistical properties of complex rational maps satisfying a non-uniform hyperbolicity condition called “Topological Collet–Eckmann”. This condition is weaker than the “Collet–Eckmann” condition. We show that every such map possesses a unique conformal probability measure of minimal exponent, and that this measure is non-atomic, ergodic, and that its Hausdorff dimension is equal to the Hausdorff dimension of the Julia set. Furthermore, we show that there is a unique invariant probability measure that is absolutely continuous with respect to this conformal measure, and that this invariant measure is exponentially mixing (it has exponential decay of correlations) and satisfies the Central Limit Theorem.We also show that for a complex rational map the existence of such invariant measure characterizes the Topological Collet–Eckmann condition: a rational map satisfies the Topological Collet–Eckmann condition if, and only if, it possesses an exponentially mixing invariant measure that is absolutely continuous with respect to some conformal measure, and whose topological support contains at least 2 points.

RésuméOn étudie des propriétés géométriques et statistiques des fonctions rationnelles complexes qui satisfont une condition d'hyperbolicité non uniforme appelée « Collet–Eckmann topologique », laquelle est plus faible que la condition de « Collet–Eckmann ». On montre qu'une telle application possède une unique mesure de probabilité conforme d'exposant minimale, et que cette mesure ne possède pas d'atomes, est ergodique, et sa dimension de Hausdorff est égale à la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Julia. De plus, on montre qu'il existe une unique mesure invariante qui est absolument continue par rapport à cette mesure, et que cette mesure invariante est exponentiellement mélangeante (la vitesse de décroissance des corrélations est exponentielle) et satisfait le Théorème Central Limite.On montre aussi que pour une fonction rationnelle l'existence d'une telle mesure invariante caractérise la condition de Collet–Eckmann topologique : une fonction rationnelle satisfait la condition de Collet–Eckmann topologique si et seulement si elle possède une mesure invariante exponentiellement mélangeante qui est absolument continue par rapport à une mesure conforme, et telle que son support topologique contienne au moins 2 points.