Group-theoretic compactification of Bruhat–Tits buildings

Let GF denote the rational points of a semisimple group G over a non-archimedean local field F, with Bruhat–Tits building X. This paper contains five main results. We prove a convergence theorem for sequences of parahoric subgroups of GF in the Chabauty topology, which enables us to compactify the vertices of X. We obtain a structure theorem showing that the Bruhat–Tits buildings of the Levi factors all lie in the boundary of the compactification. Then we obtain an identification theorem with the polyhedral compactification (previously defined in analogy with the case of symmetric spaces). We finally prove two parametrization theorems extending the Bruhat–Tits dictionary between maximal compact subgroups and vertices of X: one is about Zariski connected amenable subgroups and the other is about subgroups with distal adjoint action.

RésuméSoit GF le groupe des points rationnels d'un groupe semi-simple G, défini sur un corps local non archimédien F, et d'immeuble de Bruhat–Tits associé X. Ce papier contient cinq résultats principaux. Nous démontrons un théorème de convergence de suites de sous-groupes parahoriques pour la topologie de Chabauty, ce qui nous permet de compactifier les sommets de X. Nous obtenons un théorème de structure qui prouve que les immeubles de Bruhat–Tits des facteurs de Lévi de G apparaissent tous dans le bord de la compactification. Ensuite nous obtenons un théorème d'identification avec la compactification polyédrique (définie auparavant par analogie avec le cas des espaces symétriques). Nous démontrons enfin deux théorèmes de paramétrage qui étendent le dictionnaire de Bruhat–Tits entre sous-groupes compacts maximaux et sommets de X : l'un porte sur les sous-groupes moyennables d'adhérence de Zariski connexe et l'autre porte sur les sous-groupes dont l'action adjointe est distale.