Proper groupoids and momentum maps: Linearization, affinity, and convexity

We show that proper Lie groupoids are locally linearizable. As a consequence, the orbit space of a proper Lie groupoid is a smooth orbispace (a Hausdorff space which locally looks like the quotient of a vector space by a linear compact Lie group action). In the case of proper (quasi-)symplectic groupoids, the orbit space admits a natural integral affine structure, which makes it into an affine orbifold with locally convex polyhedral boundary, and the local structure near each boundary point is isomorphic to that of a Weyl chamber of a compact Lie group. We then apply these results to the study of momentum maps of Hamiltonian actions of proper (quasi-)symplectic groupoids, and show that these momentum maps preserve natural transverse affine structures with local convexity properties. Many convexity theorems in the literature can be recovered from this last statement and some elementary results about affine maps.

RésuméNous montrons que les groupoïdes de Lie propres sont localement linéarisables. En particulier, l'espace des orbites d'un groupoïde de Lie propre est localement isomorphe au quotient d'un espace vectoriel par une action linéaire d'un groupe de Lie compact. Dans le cas des groupoïdes (quasi-)sympletiques propres, l'espace des orbites est une orbifold qui admet une structure affine naturelle avec des propriétés de convexité locale. Nous appliquons ces résultats à l'étude des actions hamiltoniennes de groupoïdes (quasi-)symplectiques propres, et montrons que les applications moment de telles actions ont un caractère affine et des propriétés de convexité. Nous retrouvons plusieurs théorèmes de convexité bien connus dans ce contexte.