Espaces symétriques de Drinfeld et correspondance de Langlands locale

RésuméNous étudions les complexes de cohomologie équivariants des espaces symétriques p-adiques de Drinfeld munis de leur action de Galois, et nous montrons comment ils permettent de réaliser la correspondance de Langlands locale pour certaines représentations de GLd dites « principales elliptiques ». Il s'agit de la première étape d'une généralisation conjecturale de la théorie de Lubin–Tate non-abélienne de Carayol, qui fournirait une réalisation cohomologique de la correspondance de Langlands pour toutes les représentations elliptiques. Au cours de notre étude, nous calculons tous les groupes d'extensions entre représentations elliptiques et les cup-produits correspondants, nous donnons un nouveau calcul de la cohomologie à supports compacts des espaces symétriques p-adiques, et nous obtenons une nouvelle preuve de la conjecture monodromie-poids de Deligne pour les variétés uniformisées par ces espaces.

We study the Galois action on the equivariant cohomology complex of Drinfeld's p-adic symmetric spaces and show how it encodes Langlands' correspondence for the so-called “principal elliptic” representations of GLd. This is the first stage of an expected generalization of Carayol's non-Abelian Lubin–Tate theory from supercuspidal to elliptic representations. In the process we obtain a new proof of Deligne's weight-monodromy conjecture for those varieties which admit p-adic uniformization by these spaces, we compute Ext groups and cup-products for elliptic representations, and we give a new computation of the compactly supported cohomology of p-adic symmetric spaces.