Crystalline boundedness principle

We prove that an F-crystal (M,φ) over an algebraically closed field k of characteristic p>0 is determined by , where n⩾1 depends only on the rank of M and on the greatest Hodge slope of (M,φ). We also extend this result to triples (M,φ,G), where G is a flat, closed subgroup scheme of GLM whose generic fibre is connected and has a Lie algebra normalized by φ. We get two purity results. If C is an F-crystal over a reduced Fp-scheme S, then each stratum of the Newton polygon stratification of S defined by C, is an affine S-scheme (a weaker result was known before for S noetherian). The locally closed subscheme of the Mumford scheme Ad,1,Nk defined by the isomorphism class of a principally quasi-polarized p-divisible group over k of height 2d, is an affine Ad,1,Nk-scheme.

RésuméNous prouvons qu'un F-cristal (M,φ) défini sur un corps k algébriquement clos de caractéristique p>0 est déterminé par , où n⩾1 dépend seulement du rang de M et de la plus grande pente de Hodge de (M,φ). On étend ce résultat aux triplets (M,φ,G), où G est un sous-groupe fermé et plat de GLM dont la fibre générique est connexe et a une algèbre de Lie normalisée par φ. Nous obtenons deux résultats de pureté. Si C est un F-cristal sur un Fp-schéma réduit S, alors chaque strate de la stratification du polygone de Newton de S défini par C est un S-schéma affine (un résultat moins général était déjà connu pour S noethérien). Le sous-schéma localement fermé du schéma de Mumford Ad,1,Nk défini par la classe d'isomorphisme d'un groupe p-divisible principalement quasi polarisé sur k de hauteur 2d est un Ad,1,Nk-schéma affine.