On the variety of Lagrangian subalgebras, II

Motivated by Drinfeld's theorem on Poisson homogeneous spaces, we study the variety L of Lagrangian subalgebras of g⊕g for a complex semi-simple Lie algebra g. Let G be the adjoint group of g. We show that the (G×G)-orbit closures in L are smooth spherical varieties. We also classify the irreducible components of L and show that they are smooth. Using some methods of M. Yakimov, we give a new description and proof of Karolinsky's classification of the diagonal G-orbits in L, which, as a special case, recovers the Belavin–Drinfeld classification of quasi-triangular r-matrices on g. Furthermore, L has a canonical Poisson structure, and we compute its rank at each point and describe its symplectic leaf decomposition in terms of intersections of orbits of two subgroups of G×G.

RésuméMotivé par le théorème de Drinfeld sur les espaces de Poisson homogènes, nous étudions la variété L des sous-algèbres de Lie lagrangiennes de g⊕g pour g, une algèbre de Lie complexe semi-simple. Soit G le groupe adjoint de g. Nous montrons que les adhérences des (G×G)-orbites dans L sont les variétés sphériques et lisses. Aussi, nous classifions les composantes irréductibles de L et nous montrons qu'elles sont lisses. Nous employons des méthodes de M. Yakimov pour donner une nouvelle description et une nouvelle preuve de la classification de Karolinsky des orbites diagonales de G dans L, qui, comme cas spécial, donne la classification de Belavin–Drinfeld des r-matrices quasi-triangulaires de g. En outre, L possède une structure de Poisson canonique, et nous calculons son rang à chaque point et nous décrivons sa décomposition en feuilles symplectiques en terme des intersections des orbites des deux sous-groupes de G×G.