Dimensions of some affine Deligne–Lusztig varieties

This paper concerns the dimensions of certain affine Deligne–Lusztig varieties, both in the affine Grassmannian and in the affine flag manifold. Rapoport conjectured a formula for the dimensions of the varieties Xμ(b) in the affine Grassmannian. We prove his conjecture for b in the split torus; we find that these varieties are equidimensional; and we reduce the general conjecture to the case of superbasic b. In the affine flag manifold, we prove a formula that reduces the dimension question for Xx(b) with b in the split torus to computations of dimensions of intersections of Iwahori orbits with orbits of the unipotent radical. Calculations using this formula allow us to verify a conjecture of Reuman in many new cases, and to make progress toward a generalization of his conjecture.

RésuméCet article concerne les dimensions de certaines variétés de Deligne–Lusztig affines, dans la grassmannienne affine et dans la variété de drapeaux affine. Rapoport a conjecturé une formule pour les dimensions des variétés Xμ(b) dans la grassmannienne affine. On prouve cette conjecture pour b dans le tore déployé ; on trouve que ces variétés sont équidimensionnelles ; et on réduit la conjecture générale au cas où b est « super-basique ». Dans le cas de la variété de drapeaux affine, on prouve une formule qui réduit la détermination de la dimension de Xx(b) avec b dans le tore déployé au calcul de dimensions d'intersections d'orbites du sous-groupe d'Iwahori et d'orbites du radical unipotent. En utilisant cette formule on vérifie une conjecture de Reuman dans beaucoup de cas nouveaux, et on généralise sa conjecture.