Moments of random fields and their wavelet transforms

We extend the concept of wavelet transforms to tempered distributions. Then we treat stochastic processes and random fields as tempered distributions in S′(R), the dual space of the space S(R). Using the above theory and the Itô Isometry theorem to stochastic processes and random fields, we find that the expected value of the wavelet transform of the difference of an observed signal process minus the true signal is equal to the wavelet transform of the mean function of the random noise process. Also, we show that the second moment of the wavelet transform of the difference of the observed signal process minus the true signal is equal to the square of the norm of the random noise process in the space L2(R+×Ω).

RésuméNous étendons le concept des transformées en ondelettes aux distributions temperées. Puis nous traitons les processus stochastiques et les champs alétoires comme les distributions tempées dans S′(R), lʼespace duale de lʼespace S(R). En utilisant la susdite théorie et le théorème dʼisométrie dʼItô sur les processus stochastiques et les champs alétoires, nous trouvons que lʼespérance de la transformée en odellete de la différence dʼun processus de signal observé moins le vrai signal est égal à la transformée en odellete de la fonction de moyenne du processus du bruit aléatoire. Aussi, nous montrons que le deuxième moment de la transformée en odellete de la différence du processus de signal observé moins le vrai signal est égal au carré de la norme du processus du bruit aléatoire en lʼespace L2(R+×Ω).