Density of vector bundles periodic under the action of Frobenius

Let X be a proper and smooth curve of genus g⩾2 over an algebraically closed field k of positive characteristic. If , it follows from Hrushovski's work on the geometry of difference schemes that the set of rank r vector bundles with trivial determinant over X that are periodic under the action of Frobenius is dense in the corresponding moduli space. Using the equivalence between Frobenius periodicity of a stable vector bundle and its triviality after pull-back by some finite étale cover of X (due to Lange and Stuhler) on the one hand, and specialization of the fundamental group on the other hand, we prove that the same result holds for any algebraically closed field of positive characteristic.

RésuméSoit X une courbe propre et lisse de genre g⩾2 sur un corps algébriquement clos k de caractéristique positive. Si , on déduit du travail de Hrushovski sur la géométrie des schémas aux différences que l'ensemble des fibrés vectoriels de rang r et de déterminant trivial sur X qui sont périodiques sous l'action de Frobenius est dense dans l'espace de modules correspondant. En utilisant d'une part l'équivalence entre périodicité d'un fibré vectoriel stable sous l'action de Frobenius et la trivialité de son image inverse dans un revêtement fini étale (due à Lange et Stuhler), et d'autre part la spécialisation du groupe fondamental, on montre que le résultat est vrai pour tout corps algébriquement clos de caractéristique positive.