On fine fractal properties of generalized infinite Bernoulli convolutions

The paper is devoted to the investigation of generalized infinite Bernoulli convolutions, i.e., the distributions μξμξ of the following random variables:ξ=∑k=1∞ξkak, where akak are terms of a given positive convergent series; ξkξk are independent random variables taking values 0 and 1 with probabilities p0kp0k and p1kp1k correspondingly.We give (without any restriction on {an}{an}) necessary and sufficient conditions for the topological support of ξ to be a nowhere dense set. Fractal properties of the topological support of ξ   and fine fractal properties of the corresponding probability measure μξμξ itself are studied in details for the case where ak⩾rk:=ak+1+ak+2+⋯ak⩾rk:=ak+1+ak+2+⋯ (i.e., rk−1⩾2rkrk−1⩾2rk) for all sufficiently large k  . The family of minimal dimensional (in the sense of the Hausdorff–Besicovitch dimension) supports of μξμξ for the above mentioned case is also studied in details. We describe a series of sets (with additional structural properties) which play the role of minimal dimensional supports of generalized Bernoulli convolutions. We also show how a generalization of M. Cooper's dimensional results on symmetric Bernoulli convolutions can easily be derived from our results.

RésuméCe travail est dédié à l'étude d'une généralisation des convolutions infinies de mesures de Bernouilli, c'est-à-dire aux distributions de variables de la formeξ=∑k=1∞ξkak, où les akak sont les éléments d'une série convergente de termes positifs et les ξkξk sont des variables aléatoires indépendantes qui prennent les seules valeurs 0 et 1 avec probabilités p0kp0k resp. p1kp1k.Sans aucune restriction sur la suite {ak}{ak} nous donnons des conditions nécessaries et suffisantes pour que le support topologique de ξ soit un ensemble dense nullepart. Les propriétés fractales du support topologique de ξ   et les propriétés fractales fines des mesures de probabilité correspondantes μξμξ sont étudiées en détail pour le cas oùak⩾rk:=ak+1+ak+2+⋯ak⩾rk:=ak+1+ak+2+⋯ (c'est-à-dire, rk−1⩾2rkrk−1⩾2rk) pour tous les k   suffisamment grands. La famille des supports minimaux de μξμξ (dans le sens de la dimension de Hausdorff–Besicovitch) pour le cas mentionné est aussi étudiée en details. On décrit une suite d'ensembles (avec des propriétés structurales additionnelles) qui joue le rôle de support avec dimension minimale pour des convolutions de Bernouilli généralisées. On montre de plus qu' une généralisation des résultats de M. Cooper sur la dimension de convolutions symmétriques de Bernouilli peut être aisément obtenue à partir de nos résultats.