Enveloppes inférieures de fonctions admissibles sur l'espace projectif complexe. Cas dissymétrique

RésuméCet article généralise les résultats du premier auteur concernant les fonctions admissibles sur certaines variétés de Fano [A. Ben Abdesselem, Lower bound of admissible functions on sphere, Bull. Sci. Math. 126 (2002) 675–680 [2], ; A. Ben Abdesselem, Enveloppes inférieures de fonctions admissibles sur l'espace projectif complexe. Cas symétrique, Bull. Sci. Math. 130 (2006) 341–353 [3], ]. On étudie ici une classe plus large de fonctions, ces dernières pouvant présenter un défaut de symétrie, et on montre l'existence d'une fonction limite donnant précisément l'invariant de Tian [G. Tian, On Kähler–Einstein metrics on certain Kähler manifolds with C1(M)>0, Invent. Math. 89 (1987) 225–246 [7], ] (voir aussi [T. Aubin, Réduction du cas positif de l'équation de Monge–Ampère sur les variétés Kählériennes à la démonstration d'une inégalité, J. Funct. Anal. 57 (1984) 143–153 [1]]) sur les variétés considérées et minorant toutes les fonctions admissibles dont le sup est égal à zéro.

This paper generalizes the first author's preceding works concerning admissible functions on certain Fano manifolds [A. Ben Abdesselem, Lower bound of admissible functions on sphere, Bull. Sci. Math. 126 (2002) 675–680 [2], ; A. Ben Abdesselem, Enveloppes inférieures de fonctions admissibles sur l'espace projectif complexe. Cas symétrique, Bull. Sci. Math. 130 (2006) 341–353 [3], ]. Here, we study a larger class of functions which can be less symmetric than the ones studied before. When the sup of these functions is null, we prove that they admit a lower bound, giving precisely Tian invariant [G. Tian, On Kähler–Einstein metrics on certain Kähler manifolds with C1(M)>0, Invent. Math. 89 (1987) 225–246 [7], ] (see also [T. Aubin, Réduction du cas positif de l'équation de Monge–Ampère sur les variétés Kählériennes à la démonstration d'une inégalité, J. Funct. Anal. 57 (1984) 143–153 [1]]) on these manifolds.