Moment sets and unitary dual for the diamond group

The diamond group G is a solvable group, semi-direct product of R with a (2n+1)-dimensional Heisenberg group Hn. We consider this group as a first example of a semi-direct product with the form R⋉N where N is nilpotent, connected and simply connected.Computing the moment sets for G, we prove that they separate the coadjoint orbits and its generic unitary irreducible representations.Then we look for the separation of all irreducible representations. First, moment sets separate representations for a quotient group G− of G by a discrete subgroup, then we can extend G to an overgroup G+, extend simultaneously each unitary irreducible representation of G to G+ and separate the representations of G by moment sets for G+.

RésuméLe groupe de diamant G est un groupe de Lie résoluble non exponentiel, produit semi direct de R avec le groupe de Heisenberg Hn. On considère ce groupe comme un premier exemple d'un produit semi direct de la forme R⋉N oùN est nilpotent connexe et simplement connexe.Par un calcul simple, on montre que les ensembles moment de G séparent les orbites coadjointes et leurs représentations unitaires irréductibles génériques.Alors, on s'interesse au problème de la séparation de toutes les représentations unitaires et irréductibles. D' abord, on montre que les ensembles moment caractérisent les représentations unitaires et irréductibles du groupe quotient G− de G par un sous groupe discret. Ensuite, on construit un surgroupe G+ et on prolonge chaque représentation unitaire et irréductible de G àG+. Enfin, on sépare toutes les représentations unitaires et irréductibles de G par les ensembles moment de G+.