Flow of diffeomorphisms for SDEs with unbounded Hölder continuous drift

We consider a SDE with a smooth multiplicative non-degenerate noise and a possibly unbounded Hölder continuous drift term. We prove the existence of a global flow of diffeomorphisms by means of a special transformation of the drift of Itô–Tanaka type. The proof requires non-standard elliptic estimates in Hölder spaces. As an application of the stochastic flow, we obtain a Bismut–Elworthy–Li type formula for the first derivatives of the associated diffusion semigroup.

RésuméOn considère une EDS dirigée par un bruit multiplicatif non-dégénéré et avec un terme de dérive Hölderien et non-borné. On montre l'existence d'un flot global de difféomorphismes au moyen d'une transformation de type Itô–Tanaka. Pour cette démonstration on fait appel à des estimations elliptiques non-usuelles dans les espaces d'Hölder. La differentiabilité du flot est ainsi utilisée pour obtenir une formule de Bismut–Elworthy–Li pour la dérivée du semi-groupe associé à la diffusion.