Le problème de Yamabe avec singularités

RésuméOn considère une variété riemannienne compacte (Mn,g)(Mn,g) de dimension n⩾3n⩾3. Sous certaines conditions, on montre l'existence d'une fonction φ strictement positive solution d'une équation du type Yamabe, suivante :Δφ+hφ=R˜φn+2n−2 oùh∈Lp(M)h∈Lp(M), p>n/2p>n/2 et R˜∈R. On donnera la régularité de φ suivant la valeur de p  , ensuite on interprétera les résultats en géométrie lorsque h=n−24(n−1)Rg, oùRgRg est la courbure scalaire de g  , en particulier lorsque Rg=R/dα(P,⋅)Rg=R/d(P,⋅)α, avec P∈MP∈M un point singulier de RgRg d'ordre α<2α<2 et R∈C0(M)R∈C0(M).

Let (Mn,g)(Mn,g) be a compact riemannian manifold of dimension n⩾3n⩾3. Under some assumptions, we prove that there exists a positive function φ solution of the Yamabe equationΔφ+hφ=R˜φn+2n−2 where h∈Lp(M)h∈Lp(M), p>n/2p>n/2 and R˜∈R. We give the regularity of φ with respect to the value of p  . Finally, we consider the results in geometry when h=n−24(n−1)Rg, where RgRg is the scalar curvature of g  , in particular for Rg=R/dα(P,⋅)Rg=R/d(P,⋅)α, with P∈MP∈M a singular point for RgRg of order α<2α<2 and R∈C0(M)R∈C0(M).