Construction of a Lyapunov functional for 1D-viscous compressible barotropic fluid equations admitting vacua

The Navier–Stokes equations for a compressible barotropic fluid in 1D with zero velocity boundary conditions are considered. We study the case of large initial data in H1 as well as the mass force such that the stationary density is uniquely determined but admits vacua. Missing uniform lower bound for the density is compensated by a careful modification of the construction procedure for a Lyapunov functional known for the case of solutions which are globally away from zero [I. Straškraba, A.A. Zlotnik, On a decay rate for 1D-viscous compressible barotropic fluid equations, J. Evol. Equ. 2 (2002) 69–96]. An immediate consequence of this construction is a decay rate estimate for this highly singular problem. The results are proved in the Eulerian coordinates for a large class of increasing state functions including p(ρ)=aργ with any γ>0 (a>0 a constant).

RésuméPour un fluide compressible barotropique, nous considérons les équations de Navier–Stokes dans le cas unidimensionnel associées à des conditions aux limites homogènes de Dirichlet. Les données initiales et de larges forces externes sont telles que la densité à l' équilibre soit déterminée de façon unique, et puisse s'annuler sur un ensemble de mesure nulle. Perdre toute borne inférieure pour la densité nous conduit à modifier soigneusement la procédure connue de construction d'une fonctionnelle de Lyapounov, comme conséquence nous obtenons une estimation nouvelle du taux de convergence. Les résultats sont établis en utilisant des coordonnées eulériennes pour une large classe de fonctions d'état décrivant la pression p(ρ)=aργ, γ>0, a>0.