Rescaled Lévy–Loewner hulls and random growth

We consider radial Loewner evolution driven by unimodular Lévy processes. We rescale the hulls of the evolution by capacity, and prove that the weak limit of the rescaled hulls exists. We then study a random growth model obtained by driving the Loewner equation with a compound Poisson process. The process involves two real parameters: the intensity of the underlying Poisson process and a localization parameter of the Poisson kernel which determines the jumps. A particular choice of parameters yields a growth process similar to the Hastings–Levitov HL(0) model. We describe the asymptotic behavior of the hulls with respect to the parameters, showing that growth tends to become localized as the jump parameter increases. We obtain deterministic evolutions in one limiting case, and Loewner evolution driven by a unimodular Cauchy process in another. We show that the Hausdorff dimension of the limiting rescaled hulls is equal to 1. Using a different type of compound Poisson process, where the Poisson kernel is replaced by the heat kernel, as driving function, we recover one case of the aforementioned model and SLE(κ) as limits.

RésuméNous étudions les ensembles compacts des évolutions de Loewner engendrés par les processus de Lévy. Nous renormalisons les ensembles compacts de l'évolution par capacité et nous démontrons que la limite d'échelle de ces nouveaux compacts existe. Dans la deuxième partie de l'article, nous nous intéressons aux évolutions de Loewner engendrées par un processus de Poisson composé avec deux paramètres réels : l'intensité du processus de Poisson et un paramètre de localisation du noyau de Poisson. Dans un certain cas, l'évolution ressemble au modèle de croissance de Hastings–Levitov HL(0). Nous décrivons la dépendence asymptotique des compactes sur les deux paramètres, et nous montrons que dans un certain cas limite, on obtient une évolution déterministe. Dans un autre cas, on obtient l'évolution de Loewner engendrée par un processus de Cauchy. Nous donnons une preuve que la dimension de Hausdorff des compacts dans le cas Poissonien est égale à 1. Un autre choix de processus de Poisson composé, ou le noyau de Poisson est remplacé par le noyau de la chaleur, nous permet de obtenir SLE(κ) comme limite.