Cohomology of regular differential forms for affine curves

Let C   be a complex affine reduced curve, and denote by H1(C)H1(C) its first truncated cohomology group, i.e. the quotient of all regular differential 1-forms by exact 1-forms. First we introduce a nonnegative invariant μ′(C,x)μ′(C,x) that measures the complexity of the singularity of C at the point x, and we establish the following formula:dimH1(C)=dimH1(C)+∑x∈Cμ′(C,x) where H1(C)H1(C) denotes the first singular homology group of C   with complex coefficients. Second we consider a family of curves given by the fibres of a dominant morphism f:X→C, where X   is an irreducible complex affine surface. We analyze the behaviour of the function y↦dimH1(f−1(y))y↦dimH1(f−1(y)). More precisely we show that it is constant on a Zariski open set, and that it is lower semi-continuous in general.

RésuméSoit C   une courbe affine complexe réduite. Son premier groupe H1(C)H1(C) de cohomologie tronqué est le quotient des 1-formes différentielles régulières sur C par les 1-formes régulières exactes. A tout point x de C  , nous attachons un invariant positif μ′(C,x)μ′(C,x) qui mesure la complexité de la singularité(C,x)(C,x). Puis nous montrons la formule suivante :dimH1(C)=dimH1(C)+∑x∈Cμ′(C,x) oùH1(C)H1(C) désigne le premier groupe d'homologie singulière de C   à coefficients complexes. Ensuite nous considérons une famille de courbes données par les fibres d'un morphisme dominant f:X→C, oùX   est une surface affine complexe irréductible. Nous analysons le comportement de la fonction y→dimH1(f−1(y))y→dimH1(f−1(y)). Plus précisément, nous montrons qu'elle est constante sur un ouvert de Zariski, et qu'elle est semi-continue inférieurement en général.