Enveloppes inférieures de fonctions admissibles sur l'espace projectif complexe. Cas symétrique

RésuméOn montre que les fonctions admissibles pour la métrique de Fubini–Study sur l'espace projectif complexe PmC de dimension complexe m, invariantes par un groupe d'automorphismes convenablement choisi, sont minorées par une fonction tendant vers moins l'infini sur le bord des cartes usuelles de PmC. Une minoration similaire a lieu sur certaines variétés projectives. Cette minoration donne une constante optimale dans une inégalité de type Hörmander sur ces variétés, ce qui permet d'y établir, à l'aide de l'invariant de Tian, l'existence de métriques d'Einstein–Kähler.

We prove that admissible functions for Fubini–Study metric on the complex projective space PmC of complex dimension m, invariant by a convenient automorphisms group, are lower bounded by a function going to minus infinity on the boundary of usual charts of PmC. A similar lower bound holds on some projective manifolds. This gives an optimal constant in a Hörmander type inequality on these manifolds, which allows us, using Tian's invariant, to establish the existence of Einstein–Kähler metrics on them.