QpQp and MpMp norm in the unit ball of CnCn

In this paper, we study the norm squares BpBp for QpQp spaces and norm squares ApAp for MpMp spaces on the unit ball of CnCn. For a holomorphic function f on the unit ball, we prove thatBp(f)⩽∫01gp(t)dψ(t)∫01gq(t)dψ(t)⋅Bq(f) holds for (n−1)/nq>(n−1)/np>q>(n−1)/n, where B(⋅,⋅)B(⋅,⋅) denotes the classical Beta function. This is a stronger version of the known nesting properties. The relations between the QpQp norm, MpMp norm and Bloch norm are given also.

RésuméDans cet article, nous étudions la norme carrée BpBp pour les espaces QpQp et la norme carrée ApAp pour les espaces MpMp pour la boule unité dans CnCn. Pour une fonction f holomorphe sur la boule unité, nous montrons queBp(f)⩽∫01gp(t)dψ(t)∫01gq(t)dψ(t)⋅Bq(f) est valable pour (n−1)/nq>(n−1)/np>q>(n−1)/n, oúB(⋅,⋅)B(⋅,⋅) denote la fonction classique de Beta. Ceci est une version plus forte des propriétés connues d'inclusion. On donne aussi les relations entre la norme QpQp, la norme MpMp et la norme de Bloch.