Non-compact-valued stochastic control under state constraints

In the present paper, we study a necessary condition under which the solutions of a stochastic differential equation governed by unbounded control processes, remain in an arbitrarily small neighborhood of a given set of constraints. We prove that, in comparison to the classical constrained control problem with bounded control processes, a further assumption on the growth of control processes is needed in order to obtain a necessary and sufficient condition in terms of viscosity solution of the associated Hamilton–Jacobi–Bellman equation. A rather general example illustrates our main result.

RésuméDans cet article, nous étudions une condition nécessaire sous laquelle les solutions d'une équation différentielle stochastique régie par un processus de contrôle non-borné restent dans un voisinage arbitrairement petit d'un ensemble donné de contraintes. On montre que, par rapport au problème classique de contrôle sous contraintes avec des processus de contrôle bornés, afin d'obtenir une condition nécessaire et suffisante de la viabilité en termes de solution de viscosité de l'équation de Hamilton–Jacobi–Bellman associée, on a besoin d'une hypothèse supplémentaire sur la croissance du processus de contrôle. Un exemple assez général illustre notre résultat principal.