Distances between critical points and midpoints of zeros of hyperbolic polynomials

Let p(x) be a polynomial of degree n with only real zeros x1⩽x2⩽⋯⩽xn. Consider their midpoints zk=(xk+xk+1)/2 and the zeros ξ1⩽ξ2⩽⋯⩽ξn−1 of p′(z). Motivated by a question posed by D. Farmer and R. Rhoades, we compare the smallest and largest distances between consecutive ξk to the ones between consecutive zk. The corresponding problem for zeros and critical points of entire functions of order one from the Laguerre–Pólya class is also discussed.

RésuméSoit p(x) un polynôme de degrén dont toutes les racines sont réelles : x1⩽x2⩽⋯⩽xn. Considérons les points milieux zk=(xk+xk+1)/2 et les zéros ξ1⩽ξ2⩽⋯⩽ξn−1 de p′(z). Motivés par une question posée par D. Farmer et R. Rhoades nous comparons la plus petite et la plus large des distances entre deux ξk consecutifs avec celles entre deux zk consecutifs. Le problème correspondant concernant les zéros et les points critiques des fonctions entières d'ordre un de la classe de Laguerre–Pólya est aussi discuté.