Une extension d'un résultat de Szegö sur les valeurs propres des matrices de Toeplitz

RésuméDans cette article nous considérons une famille de fonctions positives, 2π-périodiques, paires. Pour une fonction f de cette classe nous déterminons un omportement asymptotique des valeurs propres λk de la matrice de Toeplitz TN(f) tel que tende vers un réel x vérifiant 1⩾x⩾0 0 quand N tend vers l'infini. Pour tout réel , α≠0 nous en déduisons le comportement asymptotique des valeurs propres correspondantes de la matrice de Toepliz TN(f), oùg(eiθ)=α(1−cosθ)f1, et oùf1 est une fonction régulière. Sous ces hypothèses nous donnons aussi l'ordre de la plus petite et de la plus grande valeur propre de cette matrice.

In this paper we consider a class of non-negative, 2π-periodic, even functions. For such a function f we obtain an asymptotic of the eigenvalues λk of the Toeplitz matrice TN(f) such goes to a positive real x∈[0,1] when N goes to the infinity. for all real , α≠0 we infer from this result the asymptotic of the same eigenvalues of the Toeplitz matrice TN(g), where g(eiθ)=α(1−cosθ)f1, and f1 a regular function. With these hypotheses we give also the order of the little nad of the greatest eigenvalue of the matrix.