Position dependent non-linear Schrödinger hierarchies: Involutivity, commutation relations, renormalisation and classical invariants

We consider a family of explicitly position dependent hierarchies , containing the NLS (non-linear Schrödinger) hierarchy. All are involutive and fulfill DIn=nIn−1, where D=D−1V0, V0 being the Hamiltonian vector field afforded by the common ground state I0=uv. The construction requires renormalisation of certain function parameters.It is shown that the ‘quantum space’C[I0,I1,…] projects down to its classical counterpart C[p], with p=I1/I0, the momentum density. The quotient is the kernel of D. It is identified with classical semi-invariants for forms in two variables.

RésuméNous considérons une famille de hiérarchies explicitement dépendantes de la position , incluant la hiérarchie de l'équation de Schrödinger non lineaire. Toutes les sont involutives et satisfont DIn=nIn−1 oúD=D−1V0, V0 tant le champ de vecteur Hamiltonien associ létat fondamental commun I0=uv. Notre construction requiert la renormalisation de certains paramétres fonctionnels.Nous montrons que “l'espace quantique”C[I0,I1,…] se projette sur l'espace classique correspondant C[p], oùp=I1/I0 dénote la densité d'impulsion. Le quotient est le noyau de D. Il est identifié à des semi-invariants classiques pour des formes à deux variables.