A simple proof of the mean value of |K2(O)||K2(O)| in function fields

Let F be a finite field of odd cardinality q  , A=F[T]A=F[T] the polynomial ring over F  , k=F(T)k=F(T) the rational function field over F   and HH the set of square-free monic polynomials in A   of degree odd. If D∈HD∈H, we denote by ODOD the integral closure of A   in k(D). In this Note, we give a simple proof for the average value of the size of the groups K2(OD)K2(OD) as D   varies over the ensemble HH and q is kept fixed. The proof is based on character sums estimates and on the use of the Riemann hypothesis for curves over finite fields.

RésuméSoit F un corps fini de cardinalité impaire q  , A=F[T]A=F[T] l'anneau de polynômes sur F  , k=F(T)k=F(T) le corps des fonctions rationnelles sur F   et HH l'ensemble des polynômes unitaires et sans facteur carré en A   de degré impair. Si D∈HD∈H, on note par ODOD la clóture intégrale de A   en k(D). Dans cette Note, nous donnons une preuve simple de la valeur moyenne de la taille des groupes K2(OD)K2(OD) quand D   varie dans l'ensemble HH et quand q est maintenu fixe. La preuve est basée sur des estimations des sommes de caractères et sur l'utilisation de l'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis.