On the square-root partition function

The well-known partition function p(n)p(n), which is the number of solutions of the equation n=a1+⋯+akn=a1+⋯+ak with integers 1≤a1≤⋯≤ak1≤a1≤⋯≤ak, has a long research history. In this note, we investigate a new partition function. Let q(n)q(n) be the number of solutions of the equation n=[a1]+⋯+[ak] with integers 1≤a1≤⋯≤ak1≤a1≤⋯≤ak, where [x][x] denotes the integral part of x  . We prove that exp⁡(c1n2/3)≤q(n)≤exp⁡(c2n2/3)exp⁡(c1n2/3)≤q(n)≤exp⁡(c2n2/3) for two explicit positive constants c1c1 and c2c2.

RésuméLa fonction de partition bien connue p(n)p(n), qui compte le nombre de solutions de l'équation n=a1+⋯+akn=a1+⋯+ak en entiers 1≤a1≤⋯≤ak1≤a1≤⋯≤ak, a une longue histoire. Nous étudions dans cette Note une nouvelle fonction de partition. Soit q(n)q(n) le nombre de solutions de l'équation n=[a1]+⋯+[ak] en entiers 1≤a1≤⋯≤ak1≤a1≤⋯≤ak, où [x][x] désigne la partie entière de x  . Nous montrons que exp⁡(c1n2/3≤q(n)≤exp⁡(c2n2/3)exp⁡(c1n2/3≤q(n)≤exp⁡(c2n2/3) pour deux constantes positives explicites c1c1 et c2c2.