Measure boundary value problems for semilinear elliptic equations with critical Hardy potentials

Let Ω⊂RNΩ⊂RN be a bounded C2C2 domain and Lκ=−Δ−κd2 where d=dist(.,∂Ω)d=dist(.,∂Ω) and 0<κ≤14. Let α±=1±1−4κ, λκλκ the first eigenvalue of LκLκ with corresponding positive eigenfunction ϕκϕκ. If g   is a continuous nondecreasing function satisfying ∫1∞(g(s)+|g(−s)|)s−22N−2+α+2N−4+α+ds<∞, then for any Radon measures ν∈Mϕκ(Ω)ν∈Mϕκ(Ω) and μ∈M(∂Ω)μ∈M(∂Ω) there exists a unique weak solution to problem Pν,μPν,μ: Lκu+g(u)=νLκu+g(u)=ν in Ω  , u=μu=μ on ∂Ω  . If g(r)=|r|q−1ug(r)=|r|q−1u (q>1q>1), we prove that, in the supercritical range of q  , a necessary and sufficient condition for solving P0,μP0,μ with μ>0μ>0 is that μ   is absolutely continuous with respect to the capacity associated with the space B2−2+α+2q′,q′(RN−1). We also characterize the boundary removable sets in terms of this capacity. In the subcritical range of q we classify the isolated singularities of positive solutions.

RésuméSoient Ω⊂RNΩ⊂RN un domaine de classe C2C2 et Lκ=−Δ−κd2 où d=dist(.,∂Ω)d=dist(.,∂Ω) et 0<κ≤14. Soient α±=1±1−4κy,λκ la première valeur propre de LκLκ et ϕκϕκ la fonction propre positive correspondante. Si g   est une fonction continue croissante vérifiant ∫1∞(g(s)+|g(−s)|)s−22N−2+α+2N−4+α+ds<∞, alors pour toutes mesures de Radon ν∈Mϕκ(Ω)ν∈Mϕκ(Ω) et μ∈M(∂Ω)μ∈M(∂Ω), il existe une unique solution faible au problème Pν,μPν,μ : Lκu+g(u)=νLκu+g(u)=ν dans Ω  , u=μu=μ sur ∂Ω  . Si g(r)=|r|q−1ug(r)=|r|q−1u (q>1q>1), nous démontrons qu'une condition nécessaire et suffisante pour résoudre P0,μP0,μ avec μ>0μ>0 est que μ   soit absolument continue par rapport à la capacité associée à l'espace B2−2+α+2q′,q′(RN−1). Cette capacité caractérise les ensembles éliminables du bord. Dans le cas sous-critique, nous classifions les singularités isolées au bord des solutions positives.