Duality for non-convex variational problems

We consider classical problems of the calculus of variations of the kindequation(1)I(Ω):=inf⁡{∫Ωf(u,∇u)dx+∫Γ1γ(u)dHN−1,u=u0onΓ0} where Ω is an open bounded subset of RNRN, (Γ0,Γ1)(Γ0,Γ1) is a partition of ∂Ω, γ   is a Lipschitz function, and f=f(t,z)f=f(t,z) is an l.s.c. function satisfying suitable growth conditions, which is convex in z, but possibly not in t. We present a new duality theory in which the dual problem reads quite nicely as a linear programming problem. The solvability of such a dual problem is a major issue. It can be achieved in the one-dimensional case, and in higher dimensions under special assumptions on f. Our results apply to phase transition and free-boundary problems.

RésuméOn considère des problèmes classiques en calcul de variations de la forme (1), ou Ω est un ouvert borné de RNRN, (Γ0,Γ1)(Γ0,Γ1) une partition de ∂Ω, γ   une fonction lipschitzienne et f=f(t,z)f=f(t,z) est une fonction s.c.i. qui vérifie des hypothèses de croissance, avec dépendence convexe en z mais a priori non convexe en t. On présente une nouvelle théorie de dualité, où le problème dual apparaît comme un problème de programmation linéaire. L'existence d'une solution à ce problème constitue une question délicate. Dans cette note, elle est obtenue en dimension un, et en dimension supérieure moyennant quelques hypothèses supplémentaires. Nos résultats s'appliquent à des problèmes de transition de phase et à frontière libre.