Optimal transport of closed differential forms for convex costs

Let c:Λk−1→R+c:Λk−1→R+ be convex and Ω⊂RnΩ⊂Rn be a bounded domain. Let f0f0 and f1f1 be two closed k  -forms on Ω satisfying appropriate boundary conditions. We discuss the minimization of ∫Ωc(A)dx∫Ωc(A)dx over a subset of (k−1)(k−1)-forms A   on Ω such that dA+f1−f0=0dA+f1−f0=0, and its connection with a transport of symplectic forms. Section 3 mainly serves as a step toward Section 4, which is richer, as it connects to variational problems with multiple minimizers.

RésuméSoient c:Λk−1→R+c:Λk−1→R+ une fonction convexe et Ω⊂RnΩ⊂Rn un domaine borné. Soient f0f0 et f1f1 des k  -formes fermées sur Ω satisfaisant des conditions de bord appropriées. Nous nous intéressons à la minimisation de ∫Ωc(A)dx∫Ωc(A)dx sur l'ensemble des (k−1)(k−1)-formes A   telles que dA+f1−f0=0dA+f1−f0=0, ainsi que sa relation à un problème de transport des formes symplectiques. La Section 3 sert d'étape intermédiaire vers la Section 4, qui est plus riche, car reliée à des problèmes variationnels avec une multitude de minimiseurs.