On the defect of compactness in Banach spaces

Concentration compactness methods improve convergence for bounded sequences in Banach spaces beyond the weak-star convergence provided by the Banach–Alaoglu theorem. A further improvement of convergence, known as profile decomposition, is possible up to defect of compactness, a series of “elementary concentrations” defined relative to the action of some group of linear isometric operators. This note presents a general profile decomposition for uniformly convex and uniformly smooth Banach spaces, generalizing the result of one of the authors (S.S.) for Sobolev spaces and of the other (C.T. jointly with I. Schindler) for general Hilbert spaces. Unlike in the Hilbert space case, profile decomposition is based not on weak convergence, but on a different mode of convergence, called polar convergence, which coincides with weak convergence if and only if the norm satisfies the known Opial condition, used in the context of fixed point theory for nonexpansive maps.

RésuméLes méthodes de concentration-compacité permettent l'amélioration de la convergence des (sous-)suites bornées dans les espaces de Banach au-delà de la convergence faible étoile fournie par le théorème de Banach–Alaoglu. Une amélioration de la convergence est possible en tenant compte de l'action d'un groupe d'isométries. P.-L. Lions a étudié ce type d'amélioration dans des espaces de fonctions spécifiques avec les groupes des translations et des dilatations. Une analyse complète en décomposition en profils (des suites bornées) pour les espaces de Sobolev W˙1,p(RN) avec les groupes des translations et dilatations a été établie par l'un des auteurs (S.S.). L'autre auteur (avec I. Schindler) a démontré l'existence d'une décomposition en profils semblable dans un espace d'Hilbert général sur lequel agit un groupe d'isométrie satisfaisant certaines hypothèses. Ce cadre général a permis d'établir des décompositions en profils avec d'autres groupes d'isométries telles que des isométries sur des variétés sous-riemanniennes, des dilatations logarithmiques pour des espaces d'Orlicz et le groupe galiléen pour étudier l'équation de Schrödinger non linéaire (T. Tao). Ce travail généralise la décomposition en profils pour un espace de Banach uniformément convexe et uniformément régulier. Nous introduisons une autre définition de la convergence faible, dite convergence polaire. La convergence polaire coïncide avec la convergence faible si et seulement si la norme satisfait à la condition d'Opial, utilisée pour la théorie du point fixe dans le cas des applications non expansives. La convergence polaire xk⇁xxk⇁x est caractérisée par la dualité (xk−x)⁎⇀0(xk−x)⁎⇀0. Dans les espaces de Besov et de Triebel–Lizorkin (qui contiennent les espaces de Lebesgue et Sobolev), la condition d'Opial est satisfaite pour des normes équivalentes via la décomposition de Littlewood–Paley, ce qui donne une décomposition en profils avec un reste qui tend vers 0 en norme pour des suites bornées des espaces correspondants.