Une inégalité de Korn non linéaire dans W2,pW2,p, p>np>n

RésuméSoit Ω un ouvert borné connexe de RnRn satisfaisant la propriété du cône intérieur uniforme et soit p>np>n. On établit une inégalité de Korn non linéaire dans W2,pW2,p, qui fournit une borne supérieure de la norme ‖⋅‖W2,p(Ω)‖⋅‖W2,p(Ω) de la différence entre deux immersions φ∈W2,p(Ω)φ∈W2,p(Ω) et φ˜∈W2,p(Ω) en fonction de la norme ‖⋅‖W1,p(Ω)‖⋅‖W1,p(Ω) de la différence entre leurs tenseurs métriques associés ∇φT∇φ∈W1,p(Ω)∇φT∇φ∈W1,p(Ω) et ∇φ˜T∇φ˜∈W1,p(Ω).Soit ensuite Ω un ouvert borné simplement connexe de RnRn à frontière lipschitzienne, l'ensemble Ω étant situé localement d'un seul côté de sa frontière. Utilisant l'inégalité de Korn non linéaire dans W2,pW2,p ci-dessus, on établit la Lipschitz-continuité locale de l'application C∈W1,p(Ω)→φ∈W2,p(Ω)C∈W1,p(Ω)→φ∈W2,p(Ω), qui est bien définie lorsque les composantes du tenseur de courbure de Riemann associé à C   s'annulent dans D′(Ω)D′(Ω), l'immersion φ∈W2,p(Ω)φ∈W2,p(Ω) étant la solution, unique à une isométrie de EnEn près, de l'équation ∇φT∇φ=C∇φT∇φ=C dans Ω.

Let Ω be a bounded and connected open subset of RnRn that satisfies the uniform interior cone property and let p>np>n. We establish a nonlinear Korn inequality in W2,pW2,p, which provides an upper bound of the ‖⋅‖W2,p(Ω)‖⋅‖W2,p(Ω)-norm of the difference between two immersions φ∈W2,p(Ω)φ∈W2,p(Ω) and φ˜∈W2,p(Ω) in terms of the ‖⋅‖W1,p(Ω)‖⋅‖W1,p(Ω)-norm of the difference between their associated metric tensors ∇φT∇φ∈W1,p(Ω)∇φT∇φ∈W1,p(Ω) and ∇φ˜T∇φ˜∈W1,p(Ω).Second, let Ω be a bounded, simply-connected, open subset of RnRn with a Lipschitz boundary, the set Ω being locally on the same side of its boundary. Using the above nonlinear Korn inequality in W2,pW2,p, we establish the local Lipschitz-continuity of the mapping C∈W1,p(Ω)→φ∈W2,p(Ω)C∈W1,p(Ω)→φ∈W2,p(Ω), which is well-defined when the components of the Riemann curvature tensor associated with C   vanish in D′(Ω)D′(Ω), the immersion φ∈W2,p(Ω)φ∈W2,p(Ω) being the solution, unique up to an isometry of EnEn, of the equation ∇φT∇φ=C∇φT∇φ=C in Ω.