Internal null-controllability of the N-dimensional heat equation in cylindrical domains

In this Note, we consider the internal null-controllability of the N  -dimensional heat equation on domains of the form Ω=Ω1×Ω2Ω=Ω1×Ω2, with Ω1=(0,1)Ω1=(0,1) and Ω2Ω2 a smooth domain of RN−1,N>1RN−1,N>1. When the control is exerted on γ={x0}×ω2⊂Ωγ={x0}×ω2⊂Ω, with x0x0 an algebraic real number of order d>1d>1 and ω2⊊Ω2ω2⊊Ω2 a non-empty open subset, we show the null-controllability, for all time T>0T>0. This result is obtained through the Lebeau–Robbiano strategy and requires an upper bound of the cost of the one-dimensional null-control.

RésuméDans cette note, on considère la contrôlabilité à zéro interne de l'équation de la chaleur N  -dimensionnelle, sur des domaines de la forme Ω=Ω1×Ω2Ω=Ω1×Ω2, avec Ω1=(0,1)Ω1=(0,1) et Ω2Ω2 un domaine borné et régulier de RN−1,N>1RN−1,N>1. Lorsque le contrôle est exercé sur γ={x0}×ω2⊂Ωγ={x0}×ω2⊂Ω, avec x0x0 un nombre réel algébrique de degré d>1d>1 et ω2⊊Ω2ω2⊊Ω2 un ouvert non vide, on montre la contrôlabilité à zéro, en tout temps T>0T>0. Ce résultat s'appuie sur la stratégie de Lebeau–Robbiano et exige une estimation du coût du contrôle monodimensionnel.