A note on the Kirillov model for representations of GLn(C)GLn(C)

Let G=GLn(C)G=GLn(C) and 1≠ψ:C→C×1≠ψ:C→C× be an additive character. Let U be the subgroup of upper triangular unipotent matrices in G. Denote by θ   the character θ:U→Cθ:U→C given byθ(u):=ψ(u1,2+u2,3+…+un−1,n).θ(u):=ψ(u1,2+u2,3+…+un−1,n). Let P be the mirabolic subgroup of G consisting of all matrices in G   with the last row equal to (0,0,…,0,1)(0,0,…,0,1). We prove that if π   is an irreducible generic representation of GLn(C)GLn(C) and W(π,ψ)W(π,ψ) is its Whittaker model, then the space {f|P:P→C:f∈W(π,ψ)} contains the space of infinitely differentiable functions f:P→Cf:P→C that satisfy f(up)=ψ(u)f(p)f(up)=ψ(u)f(p) for all u∈Uu∈U and p∈Pp∈P and that have a compact support modulo U  . A similar result was proven for GLn(F)GLn(F), where F is a p-adic field by Gelfand and Kazhdan (1975) [1] and for GLn(R)GLn(R) by Jacquet (2010) [2].

RésuméSoit G=GLn(C)G=GLn(C) et 1≠ψ:C→C×1≠ψ:C→C× un caractère additif non trivial. Soit U le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures unipotentes de G  . Notons θ:U→Cθ:U→C le caractère donné parθ(u):=ψ(u1,2+u2,3+⋯+un−1,n).θ(u):=ψ(u1,2+u2,3+⋯+un−1,n). Soit P le sous-groupe mirabolique constitué des matrices de G   dont la dernière ligne est (0,0,…,0,1)(0,0,…,0,1). Nous montrons que, si π est une représentation irréductible générique de G   et si W(π,ψ)W(π,ψ) est son modèle de Whittaker, alors l'espace {f|P:P→C:f∈W(π,ψ)}{f|P:P→C:f∈W(π,ψ)} contient l'espace des fonctions f:P→Cf:P→C infiniment différentiables, qui satisfont f(up)=ψ(u)f(p)f(up)=ψ(u)f(p) pour tout u∈Uu∈U et p∈Pp∈P et qui ont un support compact modulo U  . Un résultat similaire a été établi pour GLn(F)GLn(F), où F est un corps p-adique, par Gelfand et Kazhdan (1975) [1] et pour GLn(R)GLn(R) par Jacquet (2010) [2].