Ruelle operators with two complex parameters and applications

For a C2C2 weak-mixing Axiom-A flow ϕt:M⟶Mϕt:M⟶M on a Riemannian manifold M   and a basic set Λ for ϕtϕt, we consider the Ruelle transfer operator Lf−sτ+zgLf−sτ+zg, where f and g are real-valued Hölder functions on Λ, τ   is the roof function and s,zs,z are complex parameters. Under some assumptions about ϕtϕt for arbitrary Hölder f,gf,g, we establish estimates for the iterations of this Ruelle operator when |Imz|≤B|Ims|ν for some constants B>0B>0, 0<ν<10<ν<1 (ν=1ν=1 for Lipschitz f,gf,g), in the spirit of the estimates for operators with one complex parameter (see [2], [11] and [12]). Applying these estimates, we obtain a non-zero analytic extension of the zeta function ζ(s,z)ζ(s,z) for Pf−ϵ

RésuméSoit ϕt:M⟶Mϕt:M⟶M un flot C2C2, faiblement mélangeant, sur une variété riemannienne M  . Soit Λ un ensemble basique pour ϕtϕt. On considère l'opérateur de Ruelle de transfert Lf−sτ+zgLf−sτ+zg, où f et g sont des fonctions hölderiennes à valeurs réelles sur Λ, τ   est la fonction roof et s,zs,z sont des paramètres complexes. On suppose que ϕtϕt satisfait quelques conditions et, pour des fonctions f,gf,g arbitraires, on prouve des estimations pour les itérations de cet opérateur de Ruelle quand |Imz|≤B|Ims|ν avec des constantes B>0,0<ν<1 (ν=1ν=1 si f,gf,g sont des fonctions lipschitziennes) qui sont analogues aux estimations des opérateurs avec un paramètre complexe (cf. [2], [11] and [12]). En appliquant ces estimations, on obtient un prolongement sans zéros de la fonction zêta ζ(s,z)ζ(s,z) pour Pf−ϵ