From hard spheres dynamics to the Stokes–Fourier equations: An L2L2 analysis of the Boltzmann–Grad limit

We derive the Stokes–Fourier equations in dimension 2 as the limiting dynamics of a system of N hard spheres of diameter ε   when N→∞N→∞, ε→0ε→0, Nε=α→∞Nε=α→∞, using the linearized Boltzmann equation as an intermediate step. Our proof is based on the strategy of Lanford [6], and on the pruning procedure developed in [3] to improve the convergence time. The main novelty here is that uniform a priori estimates come from a L2L2 bound on the initial data, the time propagation of which involves a fine symmetry argument and a systematic study of recollisions.

RésuméLes équations de Stokes–Fourier sont obtenues, en dimension 2, comme dynamique limite d'un système de N sphères dures de diamètre ε   quand N→∞N→∞, ε→0ε→0, Nε=α→∞Nε=α→∞, en utilisant l'équation de Boltzmann linéarisée comme étape intermédiaire. Notre preuve est basée sur la stratégie de Lanford [6] et sur la procédure de troncature développée dans [3] pour améliorer le temps de convergence. La principale nouveauté ici est que les estimations a priori uniformes viennent d'une borne L2L2 sur la donnée initiale, dont la propagation en temps repose sur un argument fin de symétrie et une étude systématique des recollisions.