Sur l'existence locale pour une équation de scalaires actifs

RésuméDans cette Note, nous étudions l'existence locale des solutions pour l'équation du scalaire actif ∂tθ+u⋅∇θ=0∂tθ+u⋅∇θ=0 où u=−∇⊥(−Δ)−1+β/2θu=−∇⊥(−Δ)−1+β/2θ. Cette équation correspond à l'équation d'Euler quand β=0β=0 et à l'équation quasi-géostrophique quand β=1β=1. Nous montrons l' existence locale dans l'espace H1+β+ϵH1+β+ϵ, où ϵ>0ϵ>0, pour 1<β<21<β<2. Un résultat récent de Chae, Constantin, Córdoba, Gancedo et Wu montre l'existence locale dans H4H4. L'amélioration est due à des nouvelles estimations plus précises du commutateur, et l'exposant fractionnaire est obtenu par un traitement different de la non-linéarité en utilisant une inégalité double du commutateur.

We address the local well-posedness for the active scalar equation ∂tθ+u⋅∇θ=0∂tθ+u⋅∇θ=0 where u=−∇⊥(−Δ)−1+β/2θu=−∇⊥(−Δ)−1+β/2θ. This equation reduces to the Euler equation if β=0β=0 and to the quasi-geostrophic equation for β=1β=1. In this note, we prove the local existence for the equation in the space H1+β+ϵH1+β+ϵ, where ϵ>0ϵ>0, for 1<β<21<β<2. An earlier result by Chae, Constantin, Córdoba, Gancedo, and Wu shows the local existence in H4H4. The improvement is due to a sharper commutator estimate, while the fractional exponent is obtained through a different treatment of the nonlinearity using a double commutator inequality.