On the higher dimensional harmonic analog of the Levinson log⁡loglog⁡log theorem

Let M  : (0,1)→[e,+∞)(0,1)→[e,+∞) be a decreasing function such that ∫01log⁡log⁡M(y)dy<+∞. Consider the set HMHM of all functions u   harmonic in P:={(x,y):x∈Rn−1,y∈R,|x|<1,|y|<1}P:={(x,y):x∈Rn−1,y∈R,|x|<1,|y|<1} and satisfying |u(x,y)|≤M(|y|)|u(x,y)|≤M(|y|). We prove that HMHM is a normal family in P.

RésuméSoit M:(0,1)→[e,+∞)M:(0,1)→[e,+∞) une fonction décroissante telle que ∫01log⁡log⁡M(y)dy<+∞. Considérons l'ensemble HMHM de toutes les fonctions u   qui sont harmoniques dans P:={(x,y)∈Rn:x∈Rn−1,y∈R,|x|<1,|y|<1}P:={(x,y)∈Rn:x∈Rn−1,y∈R,|x|<1,|y|<1} et satisfont |u(x,y)|≤M(|y|)|u(x,y)|≤M(|y|). On montre que HMHM est une famille normale dans P.