Propriétés de moyenne pour les fonctions harmoniques et polyharmoniques au sens de Dunkl

RésuméPour un système de racines dans RdRd muni de son groupe de Coxeter–Weyl W   et d'une fonction de multiplicité k≥0k≥0, on considère les opérateurs de Dunkl associés D1,…,DdD1,…,Dd et le laplacien de Dunkl Δk=D12+…+Dd2. Cette Note étudie les propriétés des fonctions u   de classe C2mC2m sur un ouvert W  -invariant Ω⊂RdΩ⊂Rd et satisfaisant Δkmu=0 sur Ω (D  -polyharmonicité si m>1m>1 et D  -harmonicité si m=1m=1). En particulier, on introduit un nouvel opérateur qui généralise l'opérateur de moyenne volumique classique et qui caractérise la D-harmonicité (resp. la D-polyharmonicité), et on donne quelques applications.

For a root system in RdRd furnished with its Weyl–Coxeter group W   and a multiplicity function k≥0k≥0, we consider the associated commuting system of Dunkl operators D1,…,DdD1,…,Dd and the Dunkl Laplacian Δk=D12+…+Dd2. This paper studies the properties of the functions u   of class C2mC2m on an open W  -invariant set Ω⊂RdΩ⊂Rd and satisfying Δkmu=0 on Ω (D  -polyharmonicity if m>1m>1 and D  -harmonicity if m=1m=1). In particular, we introduce a new operator, which is a generalization of the classical volume mean value operator and which characterizes D-harmonicity (resp. D-polyharmonicity) and we give some applications.