A gap theorem for minimal submanifolds in Euclidean space

We prove that for a complete minimal submanifold MnMn immersed in the Euclidean space Rn+dRn+d, if the second fundamental form A and the intrinsic distance function r   from a fixed point satisfy r(x)|A|(x)≤εr(x)|A|(x)≤ε for all x∈Mx∈M, where ε is a positive constant depending only on n, then M   is an affine subspace of Rn+dRn+d.

RésuméOn démontre que, pour une sous-variété minimale complète MnMn immergée dans l'espace euclidien Rn+dRn+d, si la seconde forme fondamentale A et la fonction distance intrinsèque r   mesurée à partir d'un point fixe satisfont l'inégalité r(x)|A|(x)≤εr(x)|A|(x)≤ε pour tous x∈Mx∈M, où ε est une constante positive ne dépendant que de n, alors M   est un sous-espace affine de Rn+dRn+d.