Metric ultraproducts of finite simple groups

Some new results on metric ultraproducts of finite simple groups are presented. Suppose that G is such a group, defined in terms of a non-principal ultrafilter ω   on NN and a sequence (Gi)i∈N(Gi)i∈N of finite simple groups, and that G is neither finite nor a Chevalley group over an infinite field. Then G is isomorphic to an ultraproduct of alternating groups or to an ultraproduct of finite simple classical groups. The isomorphism type of G determines which of these two cases arises, and, in the latter case, the ω  -limit of the characteristics of the groups GiGi. Moreover, G is a complete path-connected group with respect to the natural metric on G.

RésuméNous présentons de nouveaux résultats relatifs aux ultraproduits des groupes finis simples. Soit G un tel groupe, associé à un ultrafiltre ω   sur NN et une suite (Gi)i∈N(Gi)i∈N de groupes finis simples, et supposons que G n'est ni fini ni un groupe de Chevalley sur un corps infini. Un tel groupe G est alors isomorphe, soit à un ultraproduit de groupes alternés, soit à un ultraproduit de groupes finis simples classiques. La classe d'isomorphisme de G nous permet de distinguer ces deux cas et, dans le second cas, de déterminer la ω  -limite des charactéristiques des groupes GiGi. Le groupe G est, de plus, complet et connexe par arcs pour la métrique naturelle sur G.