Sharp LpLp estimates for discrete second-order Riesz transforms

We show that multipliers of second-order Riesz transforms on products of discrete Abelian groups enjoy the LpLp estimate (p⁎−1)(p⁎−1), where p⁎=max{p,q}p⁎=max{p,q}, 1/p+1/q=11/p+1/q=1. This estimate is sharp for certain multipliers such as R1R1⁎−R2R2⁎ on products of infinite groups. For other multipliers such as R1R1⁎, the best possible estimate is given by the Choi constant. Those are the first known sharp LpLp estimates of discrete Calderón–Zygmund operators.

RésuméNous montrons que les carrés des transformations de Riesz sur des produits de groupes abéliens discrets ont une norme LpLp bornée par la constante (p⁎−1)(p⁎−1), avec p⁎=max{p,q}p⁎=max{p,q}, 1/p+1/q=11/p+1/q=1. Cette constante est optimale dans le cas de goupes infinis pour certains opérateurs, parmi lesquels R1R1⁎−R2R2⁎. Pour d'autres opérateurs, parmi lesquels R1R1⁎, la constante optimale est donnée par la constante de Choi. Il s'agit des premières estimations LpLp optimales connues d'opérateurs discrets de type Calderón–Zygmund.