Weighted moments for the limit of a normalized supercritical Galton–Watson process

Let (Zn)(Zn) be a supercritical Galton–Watson process, and let W   be the limit of the normalized population size Zn/mnZn/mn, where m=EZ1>1m=EZ1>1 is the mean of the offspring distribution. Let ℓ be a positive function slowly varying at ∞. Bingham and Doney (1974) [4] showed that for α>1α>1 not an integer, EWαℓ(W)<∞EWαℓ(W)<∞ if and only if EZ1αℓ(Z1)<∞; Alsmeyer and Rösler (2004) [2] proved the equivalence for α>1α>1 not a dyadic power. Here we prove it for all α>1α>1.

RésuméSoient (Zn)(Zn) un processus de Galton–Watson surcritique et W   la limite de la population normalisée Zn/mnZn/mn, où m=EZ1>1m=EZ1>1 est la moyenne de la loi de reproduction. Soit ℓ une fonction positive à variation lente en ∞. Bingham et Doney (1974) [4] ont montré que, pour α>0α>0 non entier, EWαℓ(W)<∞EWαℓ(W)<∞ si et seulement si EZ1αℓ(Z1)<∞ ; Alsmeyer et Rösler (2004) [2] ont montré lʼéquivalence lorsque α>1α>1 nʼest pas une puissance de 2. Nous le montrons ici pour tout α>1α>1.