Partially hyperbolic diffeomorphisms on Heisenberg nilmanifolds and holonomy maps

In this note we show that all partially hyperbolic automorphisms on a 3-dimensional non-Abelian nilmanifold can be C1C1-approximated by structurally stable C∞C∞-diffeomorphisms, whose chain recurrent set consists of one attractor and one repeller. In particular, all these partially hyperbolic automorphisms are not robustly transitive. As a corollary, the holonomy maps of the stable and unstable foliations of the approximating diffeomorphisms are twisted quasiperiodically forced circle homeomorphisms, which are transitive but non-minimal and satisfy certain fiberwise regularity properties.

RésuméDans cette note, nous démontrons que les automorphismes partiellement hyperboliques de la nil-variété non abélienne de dimension 3 peuvent tous être approchés dans la topologie C1C1 par des difféomorphismes structurellement stables, chacun possédant un attracteur et un répulseur comme seuls ensembles récurrents par chaîne. Cela implique que ces automorphismes partiellement hyperboliques ne sont pas robustement transitifs. Comme corollaire, nous en déduisons que les holonomies des feuilletages stables et instables des difféomorphismes approximants sont des homéomorphismes quasi périodiquement forcés twistés du cercle, qui sont transitifs mais pas minimaux, qui satisfont à certaines propriétés de régularité dans les fibres.