The elementary symmetric functions of a reciprocal polynomial sequence

Erdös et Niven ont démontré en 1946 que, pour tous entiers positifs m et d, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers positifs n pour lesquels au moins une des fonctions symétriques élémentaires des nombres 1/m,1/(m+d),…,1/(m+(n−1)d) est entière. Récemment, Wang et Hong ont raffiné ce résultat en montrant que, si n⩾4, alors aucune des fonctions symétriques élémentaires des nombres 1/m,1/(m+d),…,1/(m+(n−1)d) n'est entière, pour tous entiers positifs m et d. Soit f un polynôme de degré au moins 2 et à coefficients entiers positifs ou nuls. Nous établissons dans cette Note qu'aucune des fonctions symétriques élémentaires des nombres 1/f(1),1/f(2),…,1/f(n) n'est entière, sauf si f(x)=xm avec m⩾2 entier et n=1.