Chow forms and Hodge cohomology classes

We prove that a closed differential form of bidimension (p,p)(p,p) on a projective manifold is cohomologous to an algebraic cycle with complex coefficients if and only if it is a weak limit of such cycles. This allows us to approach the problem of the algebraicity of cohomology classes. Using the characterization of currents associated with algebraic cycles by the Chow transform, the obstructions are reduced to an orthogonality condition with certain smooth functions on the Grassmannian, which are in general merely images of distributions by a suitable explicitly defined linear differential operator. These distributions are of order less than k  . This forces a convergence in the space of CkCk functions, which is achieved, when the cohomology class is rational, thanks to the constructibility of the Bernstein polynomial.

RésuméOn montre qu'une forme différentielle fermée de bidimension (p,p)(p,p) dans une variété projective est cohomologue à un cycle algébrique à coefficients complexes si et seulement si elle est limite faible de tels cycles. Cela permet d'approcher le problème de l'algébricité des classes de cohomologie. En utilisant la caractérisation des courants associés aux cycles algébriques par la transformation de Chow, les obstructions sont réduites à une condition d'orthogonalité avec certaines fonctions C∞C∞ sur la grassmannienne, qui sont en général images seulement de distributions par un opérateur différentiel linéaire explicite. Ces distributions sont d'ordres inférieurs ou égaux à k  . Cela force une convergence dans l'espace des fonctions CkCk, qui est réalisée lorsque la classe de cohomologie est rationnelle, grâce à la constructibilité du polynôme de Bernstein.