Global exact controllability of 1d Schrödinger equations with a polarizability term

We consider a quantum particle in a 1d interval submitted to a potential. The evolution of this particle is controlled using an external electric field. Taking into account the so-called polarizability term in the model (quadratic with respect to the control), we prove global exact controllability in a suitable space for arbitrary potential and arbitrary dipole moment. This term is relevant both from the mathematical and physical points of view. The proof uses tools from the bilinear setting and a perturbation argument.

RésuméOn considère une particule quantique dans un intervalle 1d, soumise à un potentiel. L'évolution de cette particule est contrôlée par un champ électrique extérieur. En prenant en compte dans le modèle le terme dit de polarisabilité (quadratique par rapport au contrôle), on prouve la contrôlabilité exacte globale dans un espace approprié pour des potentiels et des moments dipolaires arbitraires. Ce terme est intéressant à la fois d'un point de vue mathématique et physique. La preuve utilise des outils issus du cadre bilinéaire et un argument de perturbation.