Une remarque sur les sous-espaces complémentés de VBp(μ,X)VBp(μ,X)

RésuméSoient (Ω,F,μ)(Ω,F,μ) un espace de probabilité et X un espace de Banach. On montre que les espaces X   et Lp(μ,X)Lp(μ,X) sont complémentés dans X⁎⁎X⁎⁎ et VBp(μ,X)VBp(μ,X), respectivement, si et seulement si Lp(μ,X)Lp(μ,X) est complémenté dans son bidual, 1⩽p<∞1⩽p<∞. Si p=∞p=∞, il faut considérer L∞(μ)⊗ˆˆX au lieu de L∞(μ,X)L∞(μ,X).Dans la suite, on suppose que X   contient une copie de c0c0. En construisant une copie convenable de ℓ∞ℓ∞ dans VBp(μ,X)VBp(μ,X) lorsque μ   est sans atome, on montre que Lp(μ,X)Lp(μ,X) nʼest pas complémenté dans VBp(μ,X)VBp(μ,X), 1⩽p⩽∞1⩽p⩽∞.Soit E   le sous espace fermé de L∞(μ,X)L∞(μ,X) définissant des opérateurs : L1(μ)/Z→XL1(μ)/Z→X, où Z   est un sous espace fermé de L1(μ)L1(μ). On construit une copie de ℓ∞ℓ∞ dans E   lorsque Z⊥Z⊥ nʼest pas isomorphe à un espace de Hilbert. On en déduit que, si de plus Z⊥Z⊥ ne contient pas de copie de c0c0, lʼespace Z⊥⊗ˆˆX nʼest pas complémenté dans E.Les deux premiers résultats sont connus pour p=1p=1, en remplaçant VB1(μ,X)VB1(μ,X) par sa copie isométrique cabv(μ,X)cabv(μ,X).

Let (Ω,F,μ)(Ω,F,μ) be a probability space and X a Banach space. We first show that X   and Lp(μ,X)Lp(μ,X) are complemented in X⁎⁎X⁎⁎ and VBp(μ,X)VBp(μ,X), respectively, if and only if Lp(μ,X)Lp(μ,X) is complemented in its bidual, 1⩽p<∞1⩽p<∞. If p=∞p=∞, one considers L∞(μ)⊗ˆˆX instead of L∞(μ,X)L∞(μ,X).We now assume that X   contains a copy of c0c0. By constructing a suitable copy of ℓ∞ℓ∞ in VBp(μ,X)VBp(μ,X) if μ   is atomless, we show that Lp(μ,X)Lp(μ,X) is not complemented in VBp(μ,X)VBp(μ,X), 1⩽p⩽∞1⩽p⩽∞.Let E   be the closed subspace of L∞(μ,X)L∞(μ,X) defining operators: L1(μ)/Z→XL1(μ)/Z→X, where Z   is a closed subspace of L1(μ)L1(μ). We construct a copy of ℓ∞ℓ∞ in E   when Z⊥Z⊥ is not isomorphic to a Hilbert space. We deduce that, if moreover Z⊥Z⊥ contains no copy of c0c0, the subspace Z⊥⊗ˆˆX is not complemented in E.The first two results are known for p=1p=1, replacing VB1(μ,X)VB1(μ,X) by its isometric copy cabv(μ,X)cabv(μ,X).