{−1}-self dual finite prechains and applications

Étant donné un digraphe D=(V,A), une paire {x,y} de sommets de D distincts est neutre si (x,y)∈A⇔(y,x)∈A. Un k-sous-digraphe de D est un sous-digraphe induit de D ayant k sommets. Le dual de D est le digraphe D⋆=(V,A⋆) où A⋆={(x,y);(y,x)∈A}. Un digraphe est auto dual sʼil est isomorphe à son dual. Il est héréditairement auto dual si tous ses sous-digraphes induits sont auto duaux. Un digraphe est une préchaîne sʼil nʼa aucun 3-sous-digraphe non auto dual ayant exactement une paire neutre, aucun 3-sous-digraphe ayant au moins deux paires neutres, aucun 4-sous-digraphe non auto dual sans paire neutre. Dans cette note, nous décrivons les préchaînes, à n⩾7 sommets, ayant au moins une paire neutre et dont tous les (n−1)-sous-digraphes sont auto duaux. Comme application, nous montrons quʼun digraphe, à n⩾9 sommets, est héréditairement auto dual dès lors que tous ses 4-sous-digraphes et ses (n−3)-sous-digraphes sont auto duaux.